L'identité d'Euler présente la particularité de relier entre elles les cinq grandes constantes des mathématiques : 0, 1, pi, e et i
Cette relation comprend en elle seule tous les fondements des mathématiques. Chaque élément représente un élément important des mathématiques.
Il y a les éléments de notre système de comptage :
π : la constante d'Archimède, découvert pendant l'Antiquité grecque, définie comme le rapport du périmètre d'un cercle sur son diamètre. ( Pi = 3.14159265.. )
e : la constante d'Euler, la base de la fonction exponentielle. C'est aussi la valeur pour laquelle le logarithme népérien vaut 1. Un nombre impossible à écrire exactement dans l'écriture décimale (2,718281828...), il relève de l'économie, de la croissance, c'est la base de la prédiction, on le retrouve partout, dans la nature, dans la société, dans le développement d'une plante, l'extension d'une épidémie ...
i : la base des nombres complexes, définie comme la racine carré de -1, en effet i² = -1. Un nombre « imaginaire », représenté pour la première fois pendant la Renaissance mais qui n'est maîtrisé que depuis le XIXe siècle, il symbolise l'algèbre et permet de résoudre des équations polynomiales qui pendant longtemps n'avaient pas de solution.
On dit que ce nombre est imaginaire (!), car nous savons tous qu'un nombre élevé au carré est soit nul ou positif. Et, pourtant... on peut faire pas mal de chose avec ce nombre imaginaire.
Il « existe » ( en tout cas, nous les avons inventé...) des nombres transcendants...
Un nombre est transcendant s'il n'est pas solution d'aucune équation polynomiales à coefficients entiers. Par exemple sqrt(2) (racine carré de 2) n'est pas transcendant puisqu'il est solution de l'équation x²-2= 0.
Jusqu'en 1844 personne ne savait s'il existait un seul nombre transcendant. En 1873 Charles Hermite démontre que le réel « e » est transcendant, et en 1882 Ferdinand Lindemann montre que « PI » est transcendant. Ce dernier résultat clos le problème de la quadrature du cercle posé depuis l'Antiquité par les Grecs (qui consiste à construire à la règle et au compas un carré ayant la même aire qu'un cercle donné) en y répondant par la négative.
Bertrand Russell « Les mathématiques ne possèdent pas seulement la vérité, mais la beauté suprême, une beauté froide, austère, comme celle d'une sculpture. »
Enfin, pour connaître le détail du contenu du raisonnement qui amène à l'identité d'Euler, visionnez cette vidéo, qui part de connaissances de niveau BAC ...
Il y a les éléments de notre système de comptage :
- 0 : aux racines indiennes , l'élément nul. Il représenter le « rien »
- 1 : l'unité, la base, dont l'origine se perd dans la nuit des temps...
- = : le signe de l'égalité, des équations.
- + : le signe de l'addition, la base des calculs.
- × : le signe de la multiplication, qui est aussi la puissance supérieure de l'addition.
- ^ : la puissance, la puissance supérieure de la multiplication.
π : la constante d'Archimède, découvert pendant l'Antiquité grecque, définie comme le rapport du périmètre d'un cercle sur son diamètre. ( Pi = 3.14159265.. )
e : la constante d'Euler, la base de la fonction exponentielle. C'est aussi la valeur pour laquelle le logarithme népérien vaut 1. Un nombre impossible à écrire exactement dans l'écriture décimale (2,718281828...), il relève de l'économie, de la croissance, c'est la base de la prédiction, on le retrouve partout, dans la nature, dans la société, dans le développement d'une plante, l'extension d'une épidémie ...
i : la base des nombres complexes, définie comme la racine carré de -1, en effet i² = -1. Un nombre « imaginaire », représenté pour la première fois pendant la Renaissance mais qui n'est maîtrisé que depuis le XIXe siècle, il symbolise l'algèbre et permet de résoudre des équations polynomiales qui pendant longtemps n'avaient pas de solution.
On dit que ce nombre est imaginaire (!), car nous savons tous qu'un nombre élevé au carré est soit nul ou positif. Et, pourtant... on peut faire pas mal de chose avec ce nombre imaginaire.
Il « existe » ( en tout cas, nous les avons inventé...) des nombres transcendants...
Un nombre est transcendant s'il n'est pas solution d'aucune équation polynomiales à coefficients entiers. Par exemple sqrt(2) (racine carré de 2) n'est pas transcendant puisqu'il est solution de l'équation x²-2= 0.
Jusqu'en 1844 personne ne savait s'il existait un seul nombre transcendant. En 1873 Charles Hermite démontre que le réel « e » est transcendant, et en 1882 Ferdinand Lindemann montre que « PI » est transcendant. Ce dernier résultat clos le problème de la quadrature du cercle posé depuis l'Antiquité par les Grecs (qui consiste à construire à la règle et au compas un carré ayant la même aire qu'un cercle donné) en y répondant par la négative.
Bertrand Russell « Les mathématiques ne possèdent pas seulement la vérité, mais la beauté suprême, une beauté froide, austère, comme celle d'une sculpture. »
Sources: dernièrement un article de Télérama, entre autres ...
« Raison d'être de la formule d'Euler et de l'identité d'Euler »
Jolie formule, que j'ai appliquée longtemps sans vraiment en comprendre le sens...
RépondreSupprimerMais je ne te connaissais pas cette passion de l'équation...
Jeune j'avais le goût des maths... Ma formation est scientifique .
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